Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為I，導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜2，且f′（x）≠1，常數(shù)c₁為方程f（x）-x=0的實數(shù)根，常數(shù)c₂為方程f（x）-2x=0的實數(shù)根．
（1）若對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立．求證：方程f（x）-x=0不存在異于c₁的實數(shù)根；
（2）求證：當(dāng)x＞c₂時，總有f（x）＜2x成立．

Answer 1

證明：（1）假設(shè)方程f（x）-x=0有存在異于c₁的實數(shù)根m，即f（m）=m，
則∵對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立
∴m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f′（x₀）成立
∵m≠c₁，∴f′（x₀）=1，這與f′（x）≠1矛盾
∴方程f（x）-x=0不存在異于c₁的實數(shù)根；
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h′（x）=f′（x）-2＜0，
∴函數(shù)h（x）為減函數(shù)
又∵h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0
∴當(dāng)x＞c₂時，h（x）＜0，
即f（x）＜2x成立．
分析：（1）利用反證法．假設(shè)方程f（x）-x=0有存在異于c₁的實數(shù)根m，即f（m）=m，則有m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f′（x₀）成立，根據(jù)m≠c₁，可得f′（x₀）=1，從而與f′（x）≠1矛盾，故命題得證；
（2）構(gòu)造h（x）=f（x）-2x，可以得出函數(shù)h（x）為減函數(shù)，根據(jù)h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0，可得結(jié)論．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查反證法思想，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．