Question

從直線l：3x+4y+8=0上一點P向圓C：x²+y²-2x-2y+1=0引切線PA、PB，A，B為切點，
（1）求與直線l相切與圓C外切的面積最小的圓的方程；
（2）求四邊形PACB的周長最小值及取得最小值時直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：當P與點C在直線l上的射影重合時，在線段PC上存在一點E，以E為圓心的圓與直線l相切且與圓C相外切，此時圓的面積達到最小值．算出直線PC方程為4x-3y-1=0，由點到直線的距離公式和兩點間的距離公式加以計算，得出圓E的圓心和半徑，即可得到所求面積最小的圓的方程；
（2）算出四邊形PACB的周長為2（|PA|+1），由圓的切線的性質可得當|PC|取得最小值時，|PA|最小．因此，求出（1）中P點的坐標，運用兩點間的距離公式算出|PA|=2

2

，即可得到四邊形PACB的周長的最小值．此時直線AB是以P為圓心、|PA|為半徑的圓與圓x²+y²-2x-2y+1=0的公共弦所在直線，由此可算出直線AB的方程．

解答：解：（1）圓C：x²+y²-2x-2y+1=0化成標準方程，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心為C（1，1），半徑r=1．
根據(jù)題意可得當點P與C在直線l上的射影重合，即PC⊥l時，
在線段PC上存在一點E，以E為圓心的圓與直線l相切，且圓E與圓C外切，
此時圓的半徑最小，故圓的面積也達到最小值．
∵直線l：3x+4y+8=0，∴設PC方程為4x-3y+m=0，
將C坐標代入得m=-1，可得PC方程為4x-3y-1=0．
∵點C到直線l的距離為|PC|=

|3+4+8|

32+42

=3，
∴圓E的半徑r'=

1

2

（|PC|-1）=1．
設E（n，

1

3

（4n-1）），可得|EC|=

(n-1)2+[ 1 3 (4n-1)-1]2

=2，
解之得n=-

1

5

或

11

5

，而n=

11

5

時點E不在線段PC上，
故n=-

1

5

，可得E的坐標為（-

1

5

，-

3

5

），
∴與直線l相切與圓C外切的面積最小的圓的方程為（x+

1

5

）²+（y+

3

5

）²=1；
（2）根據(jù)題意，可得四邊形PACB的周長為|PA|+|PB|+|CA|+|CB|=2（|PA|+|CA|）=2（|PA|+1）
∵|PA|=

|PC|2-|AC|2

=

|PC|2-1

∴|PC|取得最小值時，|PA|最小．
可得當點P與C在直線l上的射影重合，即PC⊥l時，四邊形PACB的周長有最小值．
由（1），聯(lián)解

4x-3y-1=0 3x+4y+8=0

，得P的坐標為（-

4

5

，-

7

5

）．
∴|PC|=

(- 4 5 -1)2+(- 7 5 -1)2

=3，可得|PA|=

|PC|2-1

=2

2

，
因此，四邊形PACB的周長的最小值為2（|PA|+1）=4

2

+2．
∵以P為圓心、|PA|為半徑的圓方程為（x+

4

5

）²+（y+

7

5

）²=8，
直線AB是以P為圓心、|PA|為半徑的圓與圓x²+y²-2x-2y+1=0的公共弦所在直線，
∴將兩圓的方程相減，可得公共弦AB的方程為9x+12y-16=0．
即當四邊形PACB的周長最小時，直線AB的方程為9x+12y-16=0．

點評：本題給出直線上的動點P與圓C，過P作圓C的兩條切線，求構成四邊形的周長最小值及相應的切點弦所在直線方程．著重考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關系和坐標系內(nèi)距離的求法等知識，屬于中檔題．