如圖一個(gè)同心圓形花壇,分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N)等份,種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖所示圓環(huán)分成的n等份為a1,a2,a3,…,an,有多少不同的種植方法


  1. A.
    2n-2•(-1)n-3種(n≥3)
  2. B.
    2n-2•(-1)n-2種(n≥3)
  3. C.
    2n+1-2•(-1)n-3種(n≥3)
  4. D.
    2n-1-2•(-1)n-3種(n≥3)
A
分析:法1:由題意知圓環(huán)分為n等份,做法同前兩種情況類似,對(duì)a1有3種不同的種法,對(duì)a2、a3、、an都有兩種不同的種法,但這樣的種法只能保證a1與ai(i=2、3、、n-1)不同顏色,但不能保證a1與an不同顏色.在這種情況下要分類,一類是an與a1不同色的種法,另一類是an與a1同色的種法,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果;
法2:特值法,令n=3,易得此時(shí)的種法,依次計(jì)算選項(xiàng)的值,驗(yàn)證可得答案.
解答:法1:圓環(huán)分為n等份,對(duì)a1有3種不同的種法,對(duì)a2、a3、、an都有兩種不同的種法,
但這樣的種法只能保證a1與ai(i=2、3、、n-1)不同顏色,但不能保證a1與an不同顏色.
于是一類是an與a1不同色的種法,這是符合要求的種法,記為S(n)(n≥3)種.
另一類是an與a1同色的種法,這時(shí)把a(bǔ)n與a1看成一部分,相當(dāng)于對(duì)n-1部分符合要求的種法,記為S(n-1).
共有3×2n-1種種法.
這樣就有S(n)+S(n-1)=3×2n-1
即S(n)-2n=-[S(n-1)-2n-1],則數(shù)列{S(n)-2n}(n≥3)是首項(xiàng)為S(3)-23公比為-1的等比數(shù)列.
則S(n)-2n=[S(3)-23](-1)n-3(n≥3).
由(1)知:S(3)=6
∴S(n)-2n+(6-8)(-1)n-3
∴S(n)=2n-2•(-1)n-3
法2:特值法
令n=3,易得此時(shí)的種法有A33=6種,
依次計(jì)算選項(xiàng)的值,驗(yàn)證可得A符合,
故選A,
點(diǎn)評(píng):本題考查的是排列問(wèn)題,把排列問(wèn)題包含在實(shí)際問(wèn)題中,解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì),把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.
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21、一個(gè)同心圓形花壇,分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N)等份,種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.
(1)如圖1,圓環(huán)分成的3等份為a1,a2,a3,有多少不同的種植方法?如圖2,圓環(huán)分成的4等份為a1,a2,a3,a4,有多少不同的種植方法?
(2)圖3,圓環(huán)分成的n等份為a1,a2,a33,…,an,有多少不同的種植方法?

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(1)如圖②,圓環(huán)分成的4等份分別為 a1,a2,a3,a4,有
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種不同的種植方法;
(2)如圖③,圓環(huán)分成的n(n≥3,n∈N)等份分別為a1,a2,a3,…,an,有
2n-2•(-1)n-3(n≥3且n∈N)
2n-2•(-1)n-3(n≥3且n∈N)
種不同的種植方法.

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如圖一個(gè)同心圓形花壇,分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N)等份,種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖所示圓環(huán)分成的n等份為a1,a2,a3,…,an,有多少不同的種植方法( 。

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如圖一個(gè)同心圓形花壇,分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N)等份,種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖所示圓環(huán)分成的n等份為a1,a2,a3,…,an,有多少不同的種植方法( )

A.2n-2•(-1)n-3種(n≥3)
B.2n-2•(-1)n-2種(n≥3)
C.2n+1-2•(-1)n-3種(n≥3)
D.2n-1-2•(-1)n-3種(n≥3)

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