Question

求過定點P（0，1）且與拋物線y²=2x只有一個公共點的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：設直線l的斜率等于k，則當 k=0時，直線l與拋物線的對稱軸平行，所以此時直線與拋物線只有有關公共點．再討論直線與拋物線相切的情況，注意要分斜率存在于斜率不存在兩種情況討論．
解答：解：①設直線l的斜率等于k，則當 k=0時，直線l的方程為 y=1，滿足直線與拋物線y²=2x僅有一個公共點，
當k≠0時，直線l是拋物線的切線，設直線l的方程為 y=kx+1，
代入拋物線的方程可得：
k²x²+（2k-2）x+1=0，根據(jù)判別式等于0，求得 k=，故切線方程為  y=x+1．
②當斜率不存在時，直線方程為x=0，經(jīng)過檢驗可得此時直線也與拋物線y²=2x相切．
故所求的直線方程為：y=1，或 x=0，或 x-2y+2=0．
點評：本題主要考查了由直線與拋物線的位置關系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關系轉(zhuǎn)化為方程解的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解題中容易漏掉斜率不存在的討論．