Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程是

x=cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=-2cosθ．
（Ⅰ）寫出C₁的極坐標(biāo)方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M₁、M₂的極坐標(biāo)分別是（1，π）、（2，

π

2

），直線M₁M₂與曲線C₂相交于P、Q兩點(diǎn)，射線OP與曲線C₁相交于點(diǎn)A，射線OQ與曲線C₁相交于點(diǎn)B，求

1

丨OA丨2

+

1

丨OB丨2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：綜合題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標(biāo)方程；
把曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；
（Ⅱ）由點(diǎn)M₁是圓C₂的圓心得線段PQ是圓的直徑，從而得OA⊥OB；
在極坐標(biāo)系下，設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），分別代入橢圓方程中，求出

1

ρ12

，

1

ρ22

的值，求和即得

1

丨OA丨2

+

1

丨OB丨2

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程是

x=cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
化為普通方程是x²+

y2

4

=1；
化為極坐標(biāo)方程是ρ²cos²θ+

ρ2sin2θ

4

=1；
又∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=-2cosθ，
化為直角坐標(biāo)方程是（x+1）²+y²=1；
（Ⅱ）∵點(diǎn)M₁、M₂的極坐標(biāo)分別是（1，π）、（2，

π

2

），
∴直角坐標(biāo)系下點(diǎn)M₁（-1，0），M₂（0，2）；
∴直線M₁M₂與圓C₂相交于P、Q兩點(diǎn)，所得線段PQ是圓（x+1）²+y²=1的直徑；
∴∠POQ=

π

2

，∴OP⊥OQ，∴OA⊥OB；
又A、B是橢圓x²+

y2

4

=1上的兩點(diǎn)，
在極坐標(biāo)系下，設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），分別代入方程ρ²cos²θ+

ρ2sin2θ

4

=1中，
有ρ12cos²θ+

ρ12sin2θ

4

=1，
ρ22cos²（θ+

π

2

）+

ρ22sin2(θ+ π 2 )

4

=1；
解得

1

ρ12

=cos²θ+

sin2θ

4

，

1

ρ22

=sin²θ+

cos2θ

4

；
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=cos²θ+

sin2θ

4

+sin²θ+

cos2θ

4

=1+

1

4

=

5

4

；
即

1

丨OA丨2

+

1

丨OB丨2

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，明確參數(shù)以及極坐標(biāo)中各個(gè)量的含義，是較難的題目．