【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，為等腰直角三角形，，，，則異面直線AB與所成角的余弦值為_______.

【答案】

【解析】

由于，所以或其補(bǔ)角為異面直線AB與所成的角，取AC的中點(diǎn)D，再結(jié)合已知可得，再.取的中點(diǎn)E，可證得，從而可求出，在中利用余弦定理可得的余弦值，也可建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

解法一：在三棱柱中，，所以或其補(bǔ)角為異面直線AB與所成的角.取AC的中點(diǎn)D，連接，BD，因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，D是AC的中點(diǎn)，所以，又，所以.因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC.取的中點(diǎn)E，連接，CE，易知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面ABC，即平面，又平面，所以.連接，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以異面直線AB與所成角的余弦值為.

解法二：取AC的中點(diǎn)D，連接，BD，因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，，D是AC的中點(diǎn)，所以，.又四邊形為菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以異面直線AB與所成角的余弦值為.

故答案為：

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大4，直線交線段于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0，求的值；

（2）求的最大值．

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【題目】為了提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)，某校數(shù)學(xué)興趣活動小組指導(dǎo)老師給學(xué)生布置了一項(xiàng)探究任務(wù)：如圖，有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC，從中裁出等邊三角形紙片作為底面，從剩余梯形中裁出三個全等的矩形作為側(cè)面，圍成一個無蓋的三棱柱（不計(jì)損耗）．

（1）若三棱柱的側(cè)面積等于底面積，求此三棱柱的底面邊長；

（2）當(dāng)三棱柱的底面邊長為何值時，三棱柱的體積最大？

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【題目】隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數(shù)，從而為科學(xué)健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機(jī)抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機(jī)計(jì)步軟件統(tǒng)計(jì)了他們某天健步的步數(shù)，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組（單位：千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如右，將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布.

分組

（單位：千步）

頻數(shù)

10

20

20

30

400

200

200

100

20

（1）現(xiàn)規(guī)定，日健步步數(shù)不低于13000步的為“健步達(dá)人”，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān)；

健步達(dá)人

非健步達(dá)人

總計(jì)

40歲以上的市民

不超過40歲的市民

總計(jì)

（2）（ⅰ）利用樣本平均數(shù)和中位數(shù)估計(jì)該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）的平均數(shù)和中位數(shù)；

（ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值），的值已求出約為.現(xiàn)從該市不超過40歲的市民中隨機(jī)抽取5人，記其中日健步步數(shù)位于的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

若，則，.

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【題目】如圖，在直四棱柱中，四邊形是平行四邊形，且．

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為45°，是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．

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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)(簡稱：AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：為優(yōu)，為良，為輕度污染，為中度污染，為重度污染，為嚴(yán)重污染.下面記錄了北京市天的空氣質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)圖表，下列結(jié)論錯誤的是(　　)

A.在北京這天的空氣質(zhì)量中，按平均數(shù)來考查，最后天的空氣質(zhì)量優(yōu)于最前面天的空氣質(zhì)量

B.在北京這天的空氣質(zhì)量中，有天達(dá)到污染程度

C.在北京這天的空氣質(zhì)量中，月日空氣質(zhì)量最差

D.在北京這天的空氣質(zhì)量中，達(dá)到空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)有天

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）

A.向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變

B.向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍橫坐標(biāo)不變

C.向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變

D.向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F（1，0），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y0的相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)F的直線l1，l2分別交橢圓C于A、B及C、D四點(diǎn)，且l1⊥l2，探究：是否存在常數(shù)λ，使恒成立.

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