Question

在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C．
（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM＜AC的概率；
（2）在△ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求AM＜AC的概率，先求出M點(diǎn)可能在的位置的長(zhǎng)度，AC的長(zhǎng)度，再讓兩者相除可得答案；
（2）由于過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，故可以認(rèn)為所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB，可將事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC'，以角度為“測(cè)度”加以計(jì)算，可得本題答案．
解答：解：（1）在等腰直角三角形ABC中，設(shè)AC長(zhǎng)為1，則AB長(zhǎng)為，
在AB上取點(diǎn)D，使AD=1，則若M點(diǎn)在線段AB上，滿足條件．
∵AD=1，AB=，
∴AM＜AC的概率為P₁==．
（2）在AB上取AC'=AC，則∠ACC′==67.5°．
則所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB，事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC'．
∵∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴AM＜AC的概率為P₂==．
答：（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，則AM＜AC的概率是；
（2）在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為．
點(diǎn)評(píng)：本題給出等腰Rt△ABC，求在兩種取法下使得AM＜AC的概率．著重考查了幾何概型及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．解題時(shí)注意題意中的“測(cè)度”，準(zhǔn)確把握“測(cè)度”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．