Question

如圖所示高腳杯的軸截面是方程為x²=2py（p＞0）的拋物線，現(xiàn)放一半徑為r小球到高腳杯中，若小球能落到杯子底部，則小球的半徑r的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)小球圓心（0，r），拋物線上點(diǎn)（x，y），求得點(diǎn)到球心距離r平方的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)r²最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底，由此可得r的范圍．
解答：解：設(shè)小球圓心（0，r），拋物線上點(diǎn)（x，y）
則點(diǎn)（x，y）到圓心距離平方為：r²=x²+（y-r）²=2py+（y-r）²=y²+2（p-r）y+r²
若r²最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底
故此二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置應(yīng)在y軸的左側(cè)，所以p-r≥0，所以r≤p，
所以0＜r≤p，
故答案為：0＜r≤p．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的應(yīng)用、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．