Question

已知函數(shù)，m∈R．
（1）若，求證：函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1 ）定義域為R關(guān)于原點對稱．因為
f（x）+f（-x）=+=+=0，
所以函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
（2）f'（x）=-＜0，
∴f（x）是實數(shù)集R上的單調(diào)遞減函數(shù)（不說明單調(diào)性扣2分）
又函數(shù)f（x）的圖象不間斷，在區(qū)間（1，2）恰有一個零點，有f（1）f（2）＜0
即（m+）（m+）＜0解之得-＜m＜-，故函數(shù)
f（x）在區(qū)間（1，2）沒有零點時，實數(shù)m的取值范圍是m≥-或m≤-…
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，考察f（-x）=-f（x）或f（x）+f（-x）=0在定義域內(nèi)是否恒成立，若是則為奇函數(shù)，否則不是奇函數(shù)．
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定f（x）的單調(diào)性，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上沒有零點，先考察其對立面即在區(qū)間（1，2）恰有一個零點時m的取值范圍，最后由此求補集即可求得所求實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的零點，考查不等式的解，屬于中檔題．