已知函數(shù),m∈R.
(1)當m=1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)若f(x)在區(qū)間(-2,3)上是減函數(shù),求m的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)把m=1代入到f(x)中化簡得到f(x)的解析式,求出f'(x),因為曲線的切點為(2,f(2)),所以把x=2代入到f'(x)中求出切線的斜率,把x=2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切點坐標,根據(jù)切點和斜率寫出切線方程即可;
(2)已知f(x)在區(qū)間(-2,3)上是減函數(shù),即f′(x)≤0在區(qū)間(-2,3)上恒成立,然后用導數(shù)求f(x)的單調遞減區(qū)間,再對m進行分類討論建立關于m的不等關系解之即可得到m的取值范圍.
解答:解:(1)當m=1時,,
又f'(x)=x2+2x-3,所以f'(2)=5.
,
所以所求切線方程為 ,即15x-3y-25=0.
所以曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為15x-3y-25=0.…(6分)
(2)因為f'(x)=x2+2mx-3m2
令f'(x)=0,得x=-3m或x=m.…(8分)
當m=0時,f'(x)=x2≥0恒成立,不符合題意.…(9分)
當m>0時,f(x)的單調遞減區(qū)間是(-3m,m),若f(x)在區(qū)間(-2,3)上是減函數(shù),
解得m≥3.…(11分)
當m<0時,f(x)的單調遞減區(qū)間是(m,-3m),若f(x)在區(qū)間(-2,3)上是減函數(shù),
,解得m≤-2.
綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是m≥3或m≤-2.…(13分)
點評:考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值.靈活運用分類討論的數(shù)學思想解決數(shù)學問題.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)的引入,為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便.
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