在平面直角坐標系xOy中，以曲線ξ：x2-y2=m2（m，x＞0）的焦距為直徑，以原點O為圓心作⊙O，⊙O交ξ于A，B兩點，則由直線OA，OB與曲線ξ圍成的封閉圖形的面積為
 
．
考點：定積分在求面積中的應(yīng)用
專題：計算題,作圖題,導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：聯(lián)立ξ與圓的方程得
x2-y2=m2
x2+y2=2m2
；從而可判斷△OAB為正三角形，而漸近線相互垂直的雙曲線可以轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)，即x2-y2=m2可化為xy=
m2
2
；從而求得A（
m
2
（
3
-1），
m
2
（
3
+1）），B（
m
2
（
3
+1），
m
2
（
3
-1））；由直線OA，OB與曲線ξ圍成的封閉圖形的面積等于曲邊梯形ADBE的面積；從而利用定積分求解．
解答： 解：圓O的半徑r即為雙曲線的半焦距長r=
2
m；
聯(lián)立ξ與圓的方程：
x2-y2=m2
x2+y2=2m2
；
即kOA=
yA
xA
=
3
3
；
∴∠AOB=60°；
故△OAB為正三角形，
而漸近線相互垂直的雙曲線可以轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)：
即x2-y2=m2可化為xy=
m2
2
；
sin15°=
2
4
（
3
+1）；
故A（
m
2
（
3
-1），
m
2
（
3
+1）），B（
m
2
（
3
+1），
m
2
（
3
-1））；

故S△OAD=
1
2
•
m
2
（
3
-1）•
m
2
（
3
+1））=
m2
4
，
S△OBE=
m2
4
；
S△OAD-S△OCD=S△OBE-S△OCD；
故S△OAC=S梯形BCDE；
故由直線OA，OB與曲線ξ圍成的封閉圖形的面積等于曲邊梯形ADBE的面積；
即S=
∫
xB
xA
1
x
dx=ln
m
2
（
3
+1）-ln
m
2
（
3
-1）=ln
3
+1
3
-1
=ln（2+
3
）．
故答案為：ln（2+
3
）．
點評：本題考查了學生的作圖能力及定積分的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）
1
6
+
5
的值；
（2）
1
n+1
+
n
（n為正整數(shù)）的值；
（3）
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…
1
99
+
100
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線y2=4x上一點M到焦點的距離為2，則點M的橫坐標是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點分別為F1、F2、A、B為其左、右兩個頂點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為M，且∠MAB=30°，則該雙曲線的離心率為（　　）
A、
21
2
B、
21
3
C、
19
3
D、
19
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定下列命題：
①命題p：5x-x2＞0，q：|x-2|＜3，則￢p是￢q的必要不充分條件．
②“若sinα≠
1
2
，則α≠
π
6
”；
③“若xy=0，則x=0且y=0”的逆否命題；
④命題“?x0∈R，使x02-x0+1≤0”的否定．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題：p：?x∈R，x2+1＞a，命題q：
x2
a2
+
y2
4
=1是焦點在x軸上的橢圓，若p∧q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知整數(shù)a，b，c，t滿足：2a+2b=2c，t=
a+b
c
，則log2t的最大值是（　�。�
A、0B、log23
C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=3sin(2x+
π
6
)．求
（1）函數(shù)的最小正周期；
（2）函數(shù)的值域為多少，當取得最小值時x的取值為多少？
（3）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)點P（x，y）滿足條件
x≤0
y≥0
y≤2x+2
，點Q（a，b）（a≤0，b≥0）滿足
OP
•
OQ
≤1恒成立，其中O是坐標原點，則Q點的軌跡所圍成圖形的面積是
 
．

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