Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：平面CFB₁⊥平面EFB₁；
（Ⅱ）若求三棱錐B₁-EFC的體積為1，求此正方體的棱長．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質(zhì)證明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）由題意，CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答： （Ⅰ）證明：E、F分別為D₁D，DB的中點，
則CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，…（3分）
∵CF?平面CFB₁，∴平面CFB₁⊥平面EFB₁；　…（6分）
（Ⅱ）解：∵CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥平面EFB₁，CF=BF=

2

2

a，
∵EF=

1

2

BD1=

3

2

a，B1F=

BB12+BF2

=

6

2

a，B1E=

B1D12+ED12

=

3

2

a
∴EF²+B₁F²=B₁E²，即∠EFB₁=90°，…（9分）
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

×S△B1EF×CF=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×

6

2

a×

3

2

a=

1

8

a3，
由VB1-EFC=1解得a=2…（12分）

點評：本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關鍵是熟練掌握相關的定理及公式．