已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0,F(xiàn)0,F(xiàn)1,F(xiàn)2是對應(yīng)的焦點.

(1)若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形,求“果圓”的方程;

(2)若|A1A|>|B1B|,求的取值范圍;

(3)一條直線與果圓交于兩點,兩點的連線段稱為果圓的弦.是否存在實數(shù)k,使得斜率為k的直線交果圓于兩點,得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上?若存在,求出所有k的值;若不存在,說明理由.

答案:
解析:

  解:(1),

  ,

  于是,所求“果圓”方程為

  ,

  (2)由題意,得,即

  ,得

  又

  (3)設(shè)“果圓”的方程為,

  記平行弦的斜率為

  當時,直線與半橢圓的交點是

  ,與半橢圓的交點是

  的中點滿足

  得

  ,

  綜上所述,當時,“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上.

  當時,以為斜率過的直線與半橢圓的交點是

  由此,在直線右側(cè),以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上,即不在某一橢圓上.

  當時,可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上.


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