精英家教網(wǎng)如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的兩個根(OA<OB),P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn). 且PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q.
(1)求直線lAB斜率的大;
(2)若S△PAQ=
13
S四OQPB
時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
若不存在,說明理由.
分析:(1)由
OA+OB=14
OA•OB=4(AB+2)
?AB2+8AB-180=0?AB=10
,進(jìn)而得到OA=6,OB=8,由此能得到直線lAB斜率的大。
(2)由S△PAQ=
1
3
S四OQPB
,知
AP
AB
=
1
2
,即P為AB的中點(diǎn),由此能求出PQ=
1
2
BO
=4.
(3)由已知得l方程為4x+3y=24,然后分∠PQM=90°,∠MPQ=90°,∠PMQ=90°三種情況分別討論,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
解答:解:(1)由
OA+OB=14
OA•OB=4(AB+2)
?AB2+8AB-180=0?AB=10

進(jìn)而得
OA=6
OB=8.
∴tan∠BAO=
4
3
.∴KAB=tan(π-∠BAO)=-tan∠BAO=-
4
3

(2)∵S△APQ=
1
3
S四OQPBS△PAQ=
1
4
S△AOB?
S△PAQ
S△AOB
=(
AP
AB
)2=
1
4
AP
AB
=
1
2

即P為AB的中點(diǎn),∴PQ=
1
2
BO
=4.
(3)由已知得l方程為4x+3y=24(*)
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①當(dāng)∠PQM=90°時(shí),由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此時(shí)M點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,設(shè)Q(a,0)則P(a,a)
有(a,a)代入(*)得a=
24
7

②當(dāng)∠MPQ=90°,
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|設(shè)Q(a,0)則M(0,a),P(a,a)進(jìn)而得a=
24
7

③當(dāng)∠PMQ=90°,由PQ∥OB,|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
設(shè)Q(a,0)則M(0,a)點(diǎn)P坐標(biāo)為(a,2a)代入(*)得a=
12
5

綜上所述,y軸上有三個點(diǎn)M1(0,0),M2(0,
24
7
)和M3(0,
12
5
)滿足使△PMQ為等腰直角三角形.
點(diǎn)評:本題考查直線和圓的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意分類討論法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A(8,0)、B(0,6)兩點(diǎn),P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn).且PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q.
(1)若△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S四OQPA=3S△PBQ時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M與P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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如圖,過點(diǎn)P(2,1)作直線l,與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).求:

(1)△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程;

(2)求直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時(shí)直線l的方程;

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此時(shí)直線l的方程.

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如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x2-14x+4(AB+2)=0的兩個根(OA<OB),P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn). 且PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q.
(1)求直線lAB斜率的大小;
(2)若數(shù)學(xué)公式時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
若不存在,說明理由.

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如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A(8,0)、B(0,6)兩點(diǎn),P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn).且PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q.
(1)若△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S四OQPA=3S△PBQ時(shí),請你確定P點(diǎn)在AB上的位置,并求出線段PQ的長;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M與P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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