Question

已知點（a_n，a_n-1）在曲線f（x）=上，且a₁=1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求證：（n∈N*）
（3）求證：數(shù)列{a_n}前n項和（n≥1，n∈N*）

Answer 1

【答案】分析：（ 1）由f（x）=知x滿足：x²+≥0，≥0，所以≥0．由此能夠求出f（x）定義域．
（2）由a_n+1²=a_n²+，則a_n+1²-a_n²=，知=a_n+1²-a₁²=a_n+1²-1．要證明：，只需證明：．由數(shù)學歸納法能夠證明原不等式成立．
（3）要證明：，只需證：（n≥2）．用分析法可以證明S_n=a₁+a₂+…+a_n≤1+2（++…+）=．
解答：解：（1）由f（x）=知x滿足：x²+≥0，
∴≥0，
∴≥0
∴≥0，
故x＞0，或x≤-1．
f（x）定義域為：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）證明：∵a_n+1²=a_n²+，則a_n+1²-a_n²=，
于是有：=a_n+1²-a₁²=a_n+1²-1
要證明：
只需證明：（*） 
下面使用數(shù)學歸納法證明：（n≥1，n∈N*） 
  ①在n=1時，a₁=1，＜a₁＜2，則n=1時 （*）式成立．
②假設n=k時，成立，
由 
要證明：，
只需2k+1≤只需（2k+1）³≤8k（k+1）²
只需1≤4k²+2k，而4k²+2k≥1在k≥1時，恒成立，
于是，于是，
又，
要證
只需證：，
只需證：4k²+11k+8＞0，而4k²+11k+8＞0在k≥1時恒成立．
于是：．
因此 得證．
綜合①②可知（*）式得證，從而原不等式成立．
（3）證明：要證明：，
由（2）可知只需證：（n≥2）（**）
下面用分析法證明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需證：（3n-2）＞（3n-1）
即只需證：（3n-2）³n＞（3n-1）³（n-1），
只需證：2n＞1．
而2n＞1在n≥1時顯然成立，
故（**）式得證．
于是由（**）式可知有：++…+≤
因此有：S_n=a₁+a₂+…+a_n≤1+2（++…+）=
點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法和分析法在不等式證明中的靈活運用．