Question

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=lnx-ax．若函數(shù)f（x）在其定義域上有且僅有四個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由于f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，所以只要考慮當x＞0時，f（x）=lnx-ax有且僅有二個不同的零點即可，令lnx-ax=0，即lnx=ax，用圖象法，畫出左右兩式的函數(shù)圖象，通過觀察圖象即得．

解答：解：令lnx-ax=0，即lnx=ax，用圖象法，畫出左右兩式的函數(shù)圖象，
當a=

1

e

時，兩圖象只有一個交點，
通過觀察圖象可知，當直線的斜率小于

1

e

且大于0時，兩圖有兩個交點．
故填：(0，

1

e

)．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與方程的關(guān)系，函數(shù)的零點就是使得函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值為0時的實數(shù)x的值．函數(shù)的零點y=f（x）就是方程f（x）=0的實數(shù)根，從圖象上看，函數(shù)的零點y=f（x）就是它的圖象與x軸交點的橫坐標．因此，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)圖象的交點的問題，數(shù)形結(jié)合的思想得到了很好的體現(xiàn)．