精英家教網(wǎng)如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A,B,C.景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向8km處,位于景點B的正北方向,還位于景點C的北偏西75°方向上.已知AB=5km.
(1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點D向景點B修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長.(結(jié)果精確到0.1km)
(2)求景點C與景點D之間的距離.(結(jié)果精確到0.1km)
分析:(1)過點D作DE⊥AC于點E,過點A作AF⊥DB,交DB的延長線于點F,求DE的問題就可以轉(zhuǎn)化為求∠DBE的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題.
(2)Rt△DCE中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出CD的長.
解答:解:(1)如圖,過點D作DE⊥AC于點E精英家教網(wǎng),過點A作AF⊥DB,交DB的延長線于點F
在Rt△DAF中,∠ADF=30°,∴AF=
1
2
AD=
1
2
×8=4,∴DF=
AD2-AF2
=
82-42
=4
3
;
在Rt△ABF中,BF=
AB2-AF2
=
52-42
=3,∴BD=DF-BF=4
3
-3
sin∠ABF=
AF
AB
=
4
5
,在Rt△DBE中,sin∠DBE=
DE
BD
,
∵∠ABF=∠DBE,∴sin∠DBE=
4
5
,∴DE=BD•sin∠DBE=
4
5
×(4
3
-3)=
16
3
-12
5
≈3.1(km)
∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是3.1km;
(2)由題意可知∠CDB=75°,由(1)可知sin∠DBE=
4
5
=0.8,所以∠DBE=53°,∴∠DCB=180°-75°-53°=52°
在Rt△DCE中,sin∠DCE=
DE
DC
,∴DC=
DE
sin52°
3.1
0.79
≈4(km)
∴景點C與景點D之間的距離約為4km.
點評:本題主要考查解直角三角形的條件,已知直角三角形的一個銳角和一邊長,或已知兩邊長就可以求出另外的邊和角.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在南北方向有一條公路,一半徑為100m的圓形廣場(圓心為O)與此公路一邊所在直線l相切于點A.點P為北半圓弧(弧APB)上的一點,過P作直線l的垂線,垂足為Q.計劃在△PAQ內(nèi)(圖中陰影部分)進(jìn)行綠化.設(shè)△PAQ的面積為S(單位:m2).
(1)設(shè)∠BOP=α(rad),將S表示為α的函數(shù);
(2)確定點P的位置,使綠化面積最大,并求出最大面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,某化工集團(tuán)在一條河流的上、下游分別建有甲、乙兩家化工廠,其中甲廠每天向河道內(nèi)排放污水2萬m3,每天流過甲廠的河水流量是500萬m3(含甲廠排放的污水);乙廠每天向河道內(nèi)排放污水1.4萬m3,每天流過乙廠的河水流量是700萬m3(含乙廠排放的污水).由于兩廠之間有一條支流的作用,使得甲廠排放的污水在流到乙廠時,有20%可自然凈化.假設(shè)工廠排放的污水能迅速與河水混合,且甲廠上游及支流均無污水排放.根據(jù)環(huán)保部門的要求,整個河流中污水含量不能超過0.2%,為此,甲、乙兩個工廠都必須各自處理一部分污水.
(Ⅰ)設(shè)甲、乙兩個化工廠每天各自處理的污水分別為x、y萬m3,試根據(jù)環(huán)保部門的要求寫出x、y所滿足的所有條件;
(Ⅱ)已知甲廠處理污水的成本是1200元/萬m3,乙廠處理污水的成本是1000元/萬m3,在滿足環(huán)保部門要求的條件下,甲、乙兩個化工廠每天應(yīng)分別各自處理污水多少萬m3,才能使這兩個工廠處理污水的總費用最?最小總費用是多少元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某工程要修建一條遂道,為了計算山兩側(cè)B與C的距離,由于地形的限制,需要取A和D兩個測量點,現(xiàn)測的AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求B與C之間的距離.(A,B,C,D在同一平面內(nèi))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某化工集團(tuán)在一條河流的上、下游分別建有甲、乙兩家化工廠,其中甲廠每天向河道內(nèi)排放污水2萬m3,每天流過甲廠的河水流量是500萬m3(含甲廠排放的污水);乙廠每天向河道內(nèi)排放污水1.4萬m3,每天流過乙廠的河水流量是700萬m3(含乙廠排放的污水).由于兩廠之間有一條支流的作用,使得甲廠排放的污水在流到乙廠時,有20%可自然凈化.假設(shè)工廠排放的污水能迅速與河水混合,且甲廠上游及支流均無污水排放. 根據(jù)環(huán)保部門的要求,整個河流中污水含量不能超過0.2%,為此,甲、乙兩個工廠都必須各自處理一部分污水.

(Ⅰ)設(shè)甲、乙兩個化工廠每天各自處理的污水分別為x、y萬m3,試根據(jù)環(huán)保部門的要求寫出x、y所滿足的所有條件;

(Ⅱ)已知甲廠處理污水的成本是1200元/萬m3,乙廠處理污水的成本是1000元/萬m3,在滿足環(huán)保部門要求的條件下,甲、乙兩個化工廠每天應(yīng)分別各自處理污水多少萬m3,才能使這兩個工廠處理污水的總費用最。孔钚】傎M用是多少元?

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