Question

如圖，已知離心率為

3

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程．
（2）證明：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

和橢圓過點M（2，1），列出方程組，再由方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由直線l∥OM，設(shè)l：y=

1

2

x+m，將式子代入橢圓C得：x²+2mx+2m²-4=0，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，欲證明直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．只需證明：k₁+k₂=0即可．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意得：

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a²=8，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）證明：由直線l∥OM，設(shè)l：y=

1

2

x+m，
將式子代入橢圓C得：x²+2mx+2m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
∵k₁+k₂=

1 2 x1+m-1

x1-2

+

1 2 x2+m-1

x2-2

=1+m•

x1+x2-4

x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•

-2m-4

2m2-4-2(-2m)+4

=0，
故直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形是等腰三角形的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用．