Question

我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”,己知  是一對相關(guān)曲線的焦點，P是它們在第一象限的交點，當(dāng) ，則這 一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率是________．

Answer 1

解析試題分析：設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，由余弦定理得(2c)²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn，①
設(shè)a₁是橢圓的實半軸，a₂是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，代入①得，，②
由離心率互為倒數(shù)知，所以=，代入②式得整理得，，
兩邊同除以得，，解得=或=1（舍），所以橢圓的離心率為=．
考點：橢圓定義與性質(zhì)，雙曲線定義與性質(zhì)，余弦定理，對新概念的理解和應(yīng)用，轉(zhuǎn)化與化歸思想