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半徑為R的球的內接四面體內有一內切球，求這兩球的體積比？

 

答案：
解析：

解：

如圖所示，大球O的半徑為R；設正四面體A—BCD的棱長為a,它的內切球半徑為r,依題意BO1=.

又∵BO2=BO12+OO12，

∴R2=（

∴a=R

連結OA，OB，OC，OD，內切球球心到正四面體各面距離為r,VO—BCD=VO—ABC+VO—ACD+

VO—AOB+VO—BCD

∴

∴r=

∴r=

∴V小球∶V大球=π·（R）3∶π·R3=1∶27

∴內切球與外接球的體積比為1∶27.

 


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