Question

【題目】將邊長為5的菱形ABCD沿對角線AC折起，頂點B移動至處，在以點B'，A，C，為頂點的四面體AB'CD中，棱AC、B'D的中點分別為E、F，若AC＝6，且四面體AB'CD的外接球球心落在四面體內(nèi)部，則線段EF長度的取值范圍為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意畫出圖形，可證AC⊥平面B′ED，得到球心O位于平面B′ED與平面ACF的交線上，即直線EF上，由勾股定理結(jié)合OA＝OB′，OE＜EF，EF＜EB′＝4可得線段EF長度的取值范圍．

如圖所示：

由已知可得，AC⊥B′E，且AC⊥DE，

∴AC⊥平面B′ED，

∵E是AC的中點，

∴到點A、C的距離相等的點位于平面ACF內(nèi)，

同理可知，到點B′、D的距離相等的點位于平面ACF內(nèi)，

∵球心O到點A，B′，C，D的距離相等，

∴球心O位于平面B′ED與平面ACF的交線上，即直線EF上．

∴球心O落在線段EF上（不含端點E、F），

顯然EF⊥B′D，由題意EA＝3，EB′＝4，則OA2＝OE2+9，

且OB′2＝OF2+FB′2＝OF2+EB′2﹣EF2＝（EF﹣OE）2+16﹣EF2＝OE2+16﹣2EFOE．

∵OA＝OB′，

∴OE2+9＝OE2+16﹣2EFOE，則，

顯然OE＜EF，

∴EF，即EF．

又EF＜EB′＝4，∴EF＜4．

故選：B．