Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

證明：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x∈R|x≠0}．
設(shè)x∈D，則-x∈D，．
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，
=．
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
所以△y＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義即可證明；
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，根據(jù)增函數(shù)的定義只需通過作差證明f（x₂）＞f（x₁）；
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基本方法．