Question

如圖，動圓D過定點A（0，2），圓心D在拋物線x²=4y上運動，MN為圓D在x軸上截得的弦，當(dāng)圓心D運動時，記|AM|=m，|AN|=n．
（Ⅰ）求證：|MN|為定值；
（Ⅱ）求

m2+n2

mn

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心（a，

a2

4

），則圓為（x-a）²+（y-

a2

4

）²=a²+（2-

a2

4

）²，由此能證明|MN|=4．
（Ⅱ）令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，又由S_△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA=4，得

16

mn

=2sinθ，由此能求出當(dāng)θ=

π

4

時，

m2+n2

mn

取最大值2

2

．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)圓心（a，

a2

4

），
則圓為（x-a）²+（y-

a2

4

）²=a²+（2-

a2

4

）²，
當(dāng)y=0時，x=a±2，
∵M(jìn)N為圓D在x軸上截得的弦，
∴|MN|=4．
（Ⅱ）解：令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S_△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m2+n2

mn

=

m

n

+

n

m

=2（sinθ+cosθ）
=2

2

sin（θ+

π

4

）≤2

2

，
∴當(dāng)θ=

π

4

時，

m2+n2

mn

取最大值2

2

．

點評：本題考查圓的弦長為定值的證明，考查代數(shù)式的值的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．