Question

如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，AB=BC=BD=4，E、F分別為棱BC、AD的中點．
（1）求異面直線AB與EF所成角的余弦值；
（2）求E到平面ACD的距離；
（3）求EF與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）如圖，分別以直線BC，BD，AB為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線AB與EF的方向向量，代入向量夾角公式，可得異面直線AB與EF所成角的余弦值；
（2）求出平面ACD的一個法向量

n

=（1，1，1），結(jié)合F∈平面ACD，

EF

=（-2，2，2），可得：E到平面ACD的距離d=

| n • EF |

| n |

；
（3）由（2）中平面ACD的一個法向量

n

=（1，1，1），設(shè)EF與平面ACD所成角為α．則sinα=cos＜

n

，

EF

＞．

解答： 解：（1）如圖，分別以直線BC，BD，AB為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=BD=4，E、F分別為棱BC、AD的中點．
∴A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F(xiàn)（0，2，2），
∵

AB

=（0，0，-4），

EF

=（-2，2，2），
設(shè)異面直線AB與EF所成角為θ，
則cosθ=

| AB • EF |

| AB |•| EF |

=

8

4×2 3

=

3

3

，
即異面直線AB與EF所成角的余弦值為

3

3

；
（2）設(shè)平面ACD的一個法向量

n

=（x，y，1），
∵

AC

=（4，0，-4），

CD

=（-4，4，0），
由

n • AC =0 n • CD =0

，得

4x-4=0 -4x+4y=0

，
故

n

=（1，1，1），
∵F∈平面ACD，

EF

=（-2，2，2），
∴E到平面ACD的距離d=

| n • EF |

| n |

=

2

3

=

2 3

3

；
（3）由（2）中平面ACD的一個法向量

n

=（1，1，1），
設(shè)EF與平面ACD所成角為α．
則sinα=cos＜

n

，

EF

＞=

| n • EF |

| n |•| EF |

=

2

3 •2 3

=

1

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，點到平面的距離，建立空間坐標(biāo)系，將空間夾角問題和距離問題轉(zhuǎn)化為向量夾角和向量射影問題是解答的關(guān)鍵．