Question

已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函數(shù)f（x）的圖象過點（0，-2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）設(shè)在點（1，g（1））處的切線與y軸垂直，求g（x）的極大值．

Answer 1

解：（1）由已知得（2分）
又f（0）=-2∴（4分）
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵．
∴．（8分）
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由，得a=2（10分）
∴
∴
由g'（x）＞0，解得或x＞1；
由g'（x）＜0，解得或x≠0．（12分）
則g（x）的單調(diào)增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是．
故g（x）極大值為，
極小值為g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）
分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得，從而可得，由函數(shù)f（x）的圖象過點（0，-2）可得f（0）=-2代入可求．
（2）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，由題意可得g′（1）=0，代入可求a的值及函數(shù)g（x），研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)的極大值．
點評：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值即為改點的切線的斜率，屬于基本知識、基本運算的考查．