【題目】在平面直角坐標系中,定長為3的線段兩端點、分別在軸,軸上滑動,在線段上,且.

(1)求點的軌跡的方程;

(2)設(shè)點是軌跡上一點,從原點向圓作兩條切線分別與軌跡交于點,,直線,的斜率分別記為,.

①求證:;

②求的最大值.

【答案】(1)見證明;(2)2.5

【解析】

設(shè),,,根據(jù),可得,,再根據(jù),即可求出軌跡方程,因為直線OP,OQ,與圓R相切,推出是方程的兩個不相等的實數(shù)根,利用韋達定理推出結(jié)合點在橢圓C上,證明當直線OPOQ不落在坐標軸上時,設(shè),通過,推出,利用,,在橢圓C上,推出,即可求出的最大值.

設(shè),,,

,

,,

,,

,

,

證明:直線OP,OQ,與圓相切,

直線OP與圓M聯(lián)立,

可得

同理,

由判別式為0,可得,是方程的兩個不相等的實數(shù)根,

在橢圓C上,所以,

;

當直線OP,OQ不落在坐標軸上時,設(shè),

,

,即,

,在橢圓C上,

,

整理得,

當直線落在坐標軸上時,顯然有,

綜上:

,

的最大值為

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足,,.

1)若,,,求的取值范圍;

2)若是公比為的等比數(shù)列,,,求的取值范圍;

3)若成等差數(shù)列,且,求正整數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) (其中為常數(shù)且)在處取得極值.

(1)當時,求的極大值點和極小值點;

(2)若上的最大值為1,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線C,點x軸的正半軸上,過點M的直線l與拋線C相交于AB兩點,O為坐標原點.

,且直線l的斜率為1,求證:以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切;

是否存在定點M,使得不論直線l繞點M如何轉(zhuǎn)動,恒為定值?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知不等式的解集為

(1)求的值;

(2)若不等式的解集為,不等式的解集為,且,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)AB,C,D為平面內(nèi)的四點,且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).

(1)若,求D點的坐標;

(2)設(shè)向量,,若k+3平行,求實數(shù) 的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】心理學家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學,給所有同學幾何和代數(shù)各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答,統(tǒng)計情況如下表:(單位:人)

幾何題

代數(shù)題

總計

男 同學

22

8

30

女同學

8

12

20

總計

30

20

50

(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)?

(2)現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對他們的答題進行研究,記甲、乙兩名女生被抽到的人數(shù)為,的分布列及數(shù)學期望.

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知是不重合直線,是不重合平面,則下列命題

①若,則

②若,則

③若、,則

④若,則

⑤若,則

為假命題的是

A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)是奇函數(shù),是偶函數(shù),且其中.

1)求的表達式,并求函數(shù)的值域

2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根,求常數(shù)的取值范圍

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