Question

 (21) （本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.

Answer 1

（1）m=-3, n=0. f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）（2）當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值－2，無(wú)極小值，當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)有極小值－6，無(wú)極大值；當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f(x)無(wú)極值.

解析:

（1）由函數(shù)f(x)圖象過(guò)點(diǎn)（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;

而g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

X	(-∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

由此可得：

當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)有極大值f(O)=-2,無(wú)極小值；

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無(wú)極值；

當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無(wú)極大值；

當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無(wú)極值.

綜上得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值－2，無(wú)極小值，當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)有極小值－6，無(wú)極大值；當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f(x)無(wú)極值.