Question

已知兩點(diǎn)及，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，且，． 求四邊形面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 ，先定位后定量.由等差中項(xiàng)得，根據(jù)橢圓定義，得，又，所以可求，由橢圓焦點(diǎn)在軸，寫出橢圓方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，并利用列方程，得的等式，求四邊形面積的最大值，關(guān)鍵在于建立關(guān)于面積的目標(biāo)函數(shù)，然后確定函數(shù)的最大值即可，分和討論，當(dāng)時，結(jié)合平面幾何知識，得（其中表示兩焦點(diǎn)到直線的距離），再結(jié)合得關(guān)于的函數(shù)，并求其范圍；當(dāng)時，該四邊形是矩形，求其面積，從而確定的范圍，進(jìn)而確定最大值.
試題解析：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為．
構(gòu)成等差數(shù)列，
， ．
又，．
橢圓的方程為．
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得，由直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)知，，化簡得：．
設(shè)，，  （法一）當(dāng)時，設(shè)直線的傾斜角為，則，，  
，
，當(dāng)時，，，．當(dāng)時，四邊形是矩形，．所以四邊形面積的最大值為．
（法二），
．
．
四邊形的面積， 

．
當(dāng)且僅當(dāng)時，，故．
所以四邊形的面積的最大值為．