Question

已知函數(shù)f（x）=log3

mx2+8x+n

x2+1

的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求m．n的值．

Answer 1

分析：令y=

mx2+8x+n

x2+1

，則 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立，故判別式△≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16
≤0．再根據(jù) y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的兩個(gè)根，求出m、n的值．

解答：解：由于f（x）=log₃

mx2+8x+n

x2+1

的定義域?yàn)镽，∵x²+1＞0，故mx²+8x+n＞0恒成立．
令y=

mx2+8x+n

x2+1

，由于函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，則 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立．
由于x∈R，可設(shè)y-m≠0，∴方程的判別式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16≤0．
∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的兩個(gè)根，
∴m+n=10，mn-16=9，解得m=n=5．
若y-m=0，即y=m=n=5 時(shí)，對(duì)應(yīng)的x=0，符合條件．
綜上可得，m=n=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．