Question

已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，-2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g(x)=

1

x+1

+af(x)，(a≠0)，若g（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知得f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

又f（0）=-2∴ln1+m-2×

1

2

=-2
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得g(x)=

1

x+1

+a[ln(x+1)-2]
定義域?yàn)椋?1，+∞），
∴g′(x)=-

1

(x+1)2

+

a

x+1

=

ax+a-1

(x+1)2

．
∵a≠0
令g'（x）=0得x=

1-a

a

=-1+

1

a

①當(dāng)a＞0時(shí)-1+

1

a

∈(-1，+∞)，且在區(qū)間(-1+

1

a

，+∞)上g，（x）＞0，
在區(qū)(-1，-1+

1

a

)上g′（x）＜0．
∴g(x)在x=-1+

1

a

處取得極小值，也是最小值．
∴g(x)=g(-1+

1

a

)=a-a(ln a+2)
由a+a（-lna-2）＞0得a＜

1

e

．∴0＜a＜

1

e

．
②當(dāng)a＜0時(shí)-1+

1

a

∉(-1，+∞)，
在區(qū)間（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減，沒有最值
綜上得，a的取值范圍是0＜a＜

1

e

．