Question

已知：f(x)=2sin2x+

3

sin2x+a-1(a∈R，a為常數(shù)）．
（I）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（II）若f（x）在[-

π

3

，

π

6

]上最大值與最小值之和為5，求a的值．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式的第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（I）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，進而確定出函數(shù)的最大值及最小值，由最大值與最小值的和為5列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：∵f(x)=1-cos2x+

3

sin2x+a-1=2sin(2x-

π

6

)+a，…（4分）
（I）∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

2

=π；…（6分）
（II）x∈[-

π

3

，

π

6

]⇒2x∈[-

2π

3

，

π

3

]⇒2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴-1≤sin(2x+

π

6

)≤

1

2

…（11分）
即

f(x)max=a+1 f(x)min=-2+a

，
∴2a-1=5⇒a=3．…（14分）

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域及值域，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及周期公式，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關鍵．