Question

已知函數在處取得極值.
(1)求實數的值；
(2)若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數根,求實數的取值范圍；
(3)證明:對任意的正整數,不等式都成立.

Answer 1

(1) a=1. （2）, (3) 利用導數判斷函數的單調性，然后再利用單調性及數列知識證明即可

解析試題分析：(1)                
時,取得極值,                
故解得經檢驗a=1符合題意. 
（2）由a=1知 由,得 
令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數根.           
當時,,于是在上單調遞增; 
當時,,于是在上單調遞減.
依題意有,
解得,               
(3) 的定義域為,由(1)知,
令得,x=0或(舍去),  當時, ,單調遞增;
當時, ,單調遞減. 為在上的最大值.                        
,故(當且僅當x=0時,等號成立)
對任意正整數n,取得,  
.
故.
考點：本題考查了導數的運用
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規(guī)方法和常見注意點