Question

（2011•寧德模擬）由方程2x|x|-y=1所確定的x，y的函數(shù)關(guān)系記為y=f（x）．給出如下結(jié)論：
①f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)； 
②對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③存在x₀∈（-1，0），使得過點(diǎn)A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線f（x）恰有兩個公共點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論為

①②③

（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析：由方程2x|x|-y=1所確定的x，y的函數(shù)關(guān)系記為y=f（x），f（x）=2x|x|-1=

2x2-1，x≥0 -2x2-1，x＜0

，分別畫出當(dāng)x≥0和x＜0的函數(shù)圖象，它們分別是拋物線的一部分．如圖所示．結(jié)合觀察圖象可得答案．

解答：解：由方程2x|x|-y=1所確定的x，y的函數(shù)關(guān)系記為y=f（x），
則f（x）=2x|x|-1=

2x2-1，x≥0 -2x2-1，x＜0

，
分別畫出當(dāng)x≥0和x＜0的函數(shù)圖象，它們分別是拋物線的一部分．如圖所示．
觀察圖象可知：
①f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)； 正確；
②圖象關(guān)于點(diǎn)Q（0，-1）對稱，故對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；正確；
③當(dāng)點(diǎn)B是過點(diǎn)A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線f（x）恰有兩個公共點(diǎn)，故存在x₀∈（-1，0），使得過點(diǎn)A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線f（x）恰有兩個公共點(diǎn)；正確．
故其中正確的結(jié)論為 ①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本小題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、帶絕對值的函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．