Question

8．已知集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）求證：A⊆B；
（2）若f（x）=ax²-1，A=B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）、分A=∅和A≠∅的情況，然后根據條件證明即可．
（2）、理解A=B≠∅表示方程ax²-1=x與方程a（ax²-1）²-1=x有相同的根，從而化簡求解．

解答 解：（1）證明：若A=∅，則A⊆B顯然成立；
若A≠∅，設t∈A，則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．
（2）∵A≠∅，∴ax²-1=x有實根，
∴a≥-$\frac{1}{4}$．
∵a（ax²-1）²-1=x，
∴（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0．
∵A=B，
∴a²x²+ax-a+1=0沒有實根或實根是方程ax²-x-1=0的根．
若a²x²+ax-a+1=0沒有實根，
則a＜$\frac{3}{4}$；
若a²x²+ax-a+1=0有實根且實根是方程ax²-x-1=0的根，
則由方程ax²-x-1=0得a²x²=ax+a，
代入a²x²+ax-a+1=0得2ax+1=0．
由此解得x=-$\frac{1}{2a}$，再代入得
$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{2a}$-1=0，
由此a=$\frac{3}{4}$，
故a的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查對新概念的理解和運用的能力，同時考查了集合間的關系和方程根的相關知識，解題過程中體現了分類討論的數學思想．