Question

3．已知函數f（x）=2x-$\frac{a}{x}$的定義域為（0，1]（a為實數）．
（1）當a=1時，求函數y=f（x）的值域；
（2）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，求a的取值范圍；
（3）求函數y=f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值及最小值，并求出當函數f（x）取最值時x的值．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入函數解析式，利用函數的性質出函數的值域．
（2）求出導函數，令導函數大于等于0在定義域上恒成立，分離出a，構造函數，通過求函數的最小值，求出a的范圍．
（3）通過對a的討論，判斷出函數在（0，1]上的單調性，求出函數的最值．

解答 解：（1）當a=1，則f（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
則函數在（0，1]上為增函數，
∴f（x）≤f（1）=2-1=1，
即函數y=f（x）的值域為（-∞，1]；
（2）∵函數的導數f′（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
若函數y=f（x）在定義域上是減函數，
則f′（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$≤0，在定義域上恒成立，
即a≤-2x²，
而-2x²∈[-2，0）
∴a≤-2
（3）當a≥0時，函數y=f（x）在（0，1]上單調增，無最小值，
當x=1時取得最大值2-a；
由（2）得當a≤-2時，函數y=f（x）在（0，1]上單調減，無最大值，
當x=1時取得最小值2-a；
當-2＜a＜0時，函數y=f（x）在$（\;0.\;\frac{{\sqrt{-2a}}}{2}\;]$上單調減，在$[\frac{{\sqrt{-2a}}}{2}，1]$上單調增，無最大值，
當$x=\frac{{\sqrt{-2a}}}{2}$時取得最小值$2\sqrt{-2a}$．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，求含參數的函數的性質問題時，一般要對參數討論．