Question

對于函數y=f（x）的定義域為D，如果存在區(qū)間[m，n]⊆D同時滿足下列條件：
①f（x）在[m，n]是單調的；
②當定義域為[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是該函數的“H區(qū)間”．若函數f（x）=

alnx-x (x＞0) -x -a (x≤0)

存在“H區(qū)間”，則正數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的圖象,根的存在性及根的個數判斷,進行簡單的合情推理

專題：函數的性質及應用

分析：通過x大于0，小于等于0，利用好的導數盆函數的單調性，利用分段函數結合函數的圖象函數的最值求出a的范圍即可．

解答： 解：當x＞0時，f（x）=alnx-x，
f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，f′（x）≥0，
得

a-x

x

≥0得0＜x≤a，此時函數f（x）為增函數，
當x=n時，取得最大值，
當x=m時，取最小值，
即

alnn-n=n alnm-m=m

，
即方程alnx-x=x有兩個解，
即方程a=

2x

lnx

有兩個解，做出y=

2x

lnx

的圖象，
由圖象以及函數的導數可知，
當x＞1時，y=

2x

lnx

在x=e處取得最小值2e，
在x=a時，y=

2a

lna

故方程a=

2x

lnx

有兩個解

．

a≤

2a

lna

，即a≤e²，正數a的取值范圍是（2e，e²]．
當x＞a時，函數f（x）為單調減函數，
則當x=m時，取得最大值，
當x=n時，取得最小值，
即

alnn-n=m alnm-m=n

，
兩式相減可得，alnm-alnn=0，即m=n，不符合；
當x≤0時，函數f（x）為減函數，
則當x=m時取最大值，
當x=n時，取得最小值，
即

-m -a=n -n -a=m

，兩式相減，
可以得到

-m

+

-n

=1，回代到方程組的第一個式子得到1-

-n

-a=n，
整理得到1-

-n

-n=a，
由圖象可知，方程由兩個解，
則a∈(

3

4

，1]，
綜上正數a的取值范圍是（

3

4

，1]∪（2e，e²]
故答案為：（

3

4

，1]∪（2e，e²]．

點評：本題主要考查函數單調性的應用以及函數的最值考查數形結合，綜合性較強．