Question

（14分）如圖，已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均是直角三角形，俯視圖為矩形，N、F分別是SC、AB的中點(diǎn)， ，．
（1）求證：SA⊥平面ABCD
（2）求證：NF∥平面SAD；
（3）求二面角A-BN-C的余弦值．

Answer 1

17. (1)∵∴-------(3分)
(2)取SD的中點(diǎn)N，連接MN，AM
∵N為SC的中點(diǎn)，∴MN∥CD且MN=
又矩形ABCD中，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∴AF∥CD且AF=
∴AF∥MN且AF="MN  " 則四邊形AFNM為平行四邊形----------（5分）
∴AM∥FN   AM平面SAD   FN平面SAD  ∴NF∥平面SAD------（7分）
(3)以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，SA所在直線(xiàn)為軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

則依題意可知相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：
，，，，如下圖所示．
∴------------------…（9分）
∴，
--------------（10分）
設(shè)平面ABN的法向量

令----------------------------------------（11分）
設(shè)平面的法向量，則，
所以     即                  
所以
令，則------------------------------  (12分)
∴ ------------    （13分）
由圖形知，二面角是鈍角二面角
所以二面角的余弦值為．........................................................ （14分）

略