Question

已知函數(shù)f（x）=

1

ex+1

+a
（Ⅰ）當a為何值時，f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質進行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，
若f（x）是奇函數(shù)，
則f（0）=0，
即f（0）=

1

e0+1

+a=

1

2

+a=0．
解得a=-

1

2

．
（2）當a=-

1

2

時，f（x）=

1

ex+1

-

1

2

，則函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

ex1+1

-

1

2

-(

1

ex2+1

-

1

2

)=

ex2-ex1

(ex1+1)(ex2+1)

∵x₁＜x₂，
∴ex1＜ex2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷，利用定義法是解決本題的關鍵．