Question

5．函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足：對一切x∈R，f（x）＞0，f（x+1）=$\sqrt{7-{f}^{2}（x）}$時，當x∈[0，1）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2（0≤x＜\sqrt{5}-2）}\\{\sqrt{5}（\sqrt{5}-2≤x＜1）}\end{array}\right.$，則f（2017-$\sqrt{3}$）=（　　）

• A． 2$\sqrt{2\sqrt{3}-3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 2$+\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意，求出f（x+2）=f（x），得f（x）是以2為周期的函數(shù)；化簡f（2013-$\sqrt{3}$），求出f（2013-$\sqrt{3}$）的值．

解答 解：∵對一切x∈R都有f（x）≥0，且f（x+1）=$\sqrt{7-{f}^{2}（x）}$，
∴f²（x+1）+f²（x）=7，
∴f²（x+2）+f²（x+1）=7；
兩式相減，得f²（x+2）-f²（x）=0，
即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)；
又∵x∈[0，1）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2（0≤x＜\sqrt{5}-2）}\\{\sqrt{5}（\sqrt{5}-2≤x＜1）}\end{array}\right.$，
∴f（2017-$\sqrt{3}$）=f（3-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{7{-f}^{2}（2-\sqrt{3}）}$；
∵2-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{5}$-2，
∴f（2-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{5}$；
∴f（2017-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{7{-（\sqrt{5}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故選：D

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用與函數(shù)的周期性的應用問題，解題的關鍵是根據(jù)題意，得出函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)；是中檔題．