Question

17．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=2，A=$\frac{π}{3}$，且$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，則△ABC面積為$\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得cosBsinC=sinBcosB，分類討論利用三角形的面積公式即可得解．

解答 解：∵a=2，A=$\frac{π}{3}$，且$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=sin（B-C）+sin2B，可得：sinA=sin（B+C）=sin（B-C）+sin2B，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-cosBsinC+2sinBcosB，
∴可得：cosBsinC=sinBcosB，
∴當(dāng)cosB=0時(shí)，可得：
         B=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，
         S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}×2×$2×tan$\frac{π}{6}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
當(dāng)cosB≠0時(shí)，可得：
        sinB=sinC，由正弦定理可得：b=c，可得a=b=c=2，
         S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}×2×$2×sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．