Question

給出下列四個命題：
（1）方程x=

y2-1

表示雙曲線的一部分；
（2）動點到兩個定點的距離之和為定長，則動點的軌跡為橢圓；
（3）動點M與點F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1的軌跡方程是x²=-8y
（4）若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）分為“上、下、左、右”四個區(qū)域（不含邊界），若點（1，2）在“上”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，

5

）；
正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）方程x=

y2-1

可化為y²-x²=1（|y|≥1，x≥0），因此此方程表示雙曲線的一部分；
（2）動點到兩個定點的距離之和為定長，沒有定長大于兩個定點的距離的條件，動點的軌跡不一定為橢圓；
（3）動點M與點F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1的軌跡，轉(zhuǎn)化為動點M與點F（0，-2）的距離與它到直線l：y-2=0的距離相等，根據(jù)拋物線的大于即可得出軌跡方程；
（4）若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）分為“上、下、左、右”四個區(qū)域（不含邊界），若點（1，2）在“上”區(qū)域內(nèi)，則

b

a

＜

2

1

=2，再利用離心率計算公式e=

c

a

=

1+( b a )2

＜

5

，即可得出．

解答： 解：（1）方程x=

y2-1

可化為y²-x²=1（|y|≥1，x≥0），因此此方程表示雙曲線的一部分，正確；
（2）動點到兩個定點的距離之和為定長，且定長大于兩個定點的距離時動點的軌跡為橢圓，因此（2）不正確；
（3）動點M與點F（0，-2）的距離比它到直線l：y-3=0的距離小1的軌跡，即動點M與點F（0，-2）的距離與它到直線l：y-2=0的距離相等的軌跡方程是x²=-8y，正確
（4）若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）分為“上、下、左、右”四個區(qū)域（不含邊界），若點（1，2）在“上”區(qū)域內(nèi)，
則

b

a

＜

2

1

=2，∴e=

c

a

=

1+( b a )2

＜

5

，又e＞1，∴雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，

5

）．
綜上可得：只有（1）（3）（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線的大于標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．