設(shè)a
1,a
2,a
3∈R
+,且a
1+a
2+a
3=m.求證:
(1)a
12+a
22+a
32≥
;
(2)
+
+
≥
.
考點(diǎn):不等式的證明
專題:證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)(a
1+a
2+a
3)
2=a
12+a
22+a
32+2a
1a
2+2a
2a
3+2a
1a
3≤3(a
12+a
22+a
32),即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可分別求得a
1+a
2+a
3和
+
+
的最小值,兩式相乘即可求得(
+
+
)m的最小值,整理后原式得證.
解答:
證明:(1)(a
1+a
2+a
3)
2=a
12+a
22+a
32+2a
1a
2+2a
2a
3+2a
1a
3≤3(a
12+a
22+a
32),
∵a
1+a
2+a
3=m,
∴a
12+a
22+a
32≥
;
(2)∵(
+
+
)m=(
+
+
)(a
1+a
2+a
3)≥3
•
3,
當(dāng)且僅當(dāng)a
1=a
2=a
3=
時(shí)等號(hào)成立.
又∵m=a
1+a
2+a
3>0,
∴
+
+
≥
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用.解題的時(shí)候要特別注意等號(hào)成立的條件.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,an=bn+1-bn,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,BA
1⊥AC
1,點(diǎn)A
1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D.
(Ⅰ)求證:AC
1⊥平面A
1BC;
(Ⅱ)求二面角A-A
1B-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)幾何體的三視圖,
(1)求該幾何體的體積.
(2)求該幾何體的外接球的表面積.(用含π的式子表示)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知tanα=
,α∈(
,
),求:
(1)
sin(π+α)-sin(+α) |
cos(3π-α)+2 |
;
(2)sin(-
-α).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
判斷二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx+c(a<0)在區(qū)間[-
,+∞)上的增減性并依定義給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)F(0,2),且與定直線L:y=-2相切.求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
“若a
2+b
2=0,則a、b全為0”的否命題是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出
(1)則當(dāng)g[f(x)]=2時(shí),x=
.
(2)則f[g(2)]=
.
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