設(shè)a1,a2,a3∈R+,且a1+a2+a3=m.求證:
(1)a12+a22+a32
m2
3
;      
(2)
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
9
m
考點(diǎn):不等式的證明
專題:證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)(a1+a2+a32=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a1a3≤3(a12+a22+a32),即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可分別求得a1+a2+a3
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
的最小值,兩式相乘即可求得(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)m的最小值,整理后原式得證.
解答: 證明:(1)(a1+a2+a32=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a1a3≤3(a12+a22+a32),
∵a1+a2+a3=m,
∴a12+a22+a32
m2
3
;      
(2)∵(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)m=(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)(a1+a2+a3)≥3
3a1a2a3
3
3
1
a1
1
a2
1
a3
,
當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=
m
3
時(shí)等號(hào)成立.
又∵m=a1+a2+a3>0,
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
9
m
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用.解題的時(shí)候要特別注意等號(hào)成立的條件.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,an=bn+1-bn,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,BA1⊥AC1,點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D.
(Ⅰ)求證:AC1⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角A-A1B-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)幾何體的三視圖,
(1)求該幾何體的體積.
(2)求該幾何體的外接球的表面積.(用含π的式子表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=
3
4
,α∈(
π
2
,
2
),求:
(1)
sin(π+α)-sin(
2
+α)
cos(3π-α)+2
;
(2)sin(-
π
4
-α).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判斷二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)在區(qū)間[-
b
2a
,+∞)上的增減性并依定義給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)F(0,2),且與定直線L:y=-2相切.求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

“若a2+b2=0,則a、b全為0”的否命題是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出
x123
f(x)231
x123
g(x)321
(1)則當(dāng)g[f(x)]=2時(shí),x=
 

(2)則f[g(2)]=
 

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