Question

設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)．

(1)求的值；

(2)若，且在上的最小值為，求的值.

(3)若，試討論函數(shù)在上零點的個數(shù)情況。

 

Answer 1

(1) ;(2) (3) 當(dāng)時在上有一個零點;當(dāng)時在上無零點.

【解析】

試題分析：(1) 由奇函數(shù)的性質(zhì)求,可用特殊值或用恒等式對應(yīng)項系數(shù)相等，如果0在奇函數(shù)的定義域內(nèi),則一定有,如果不在可任取定義域內(nèi)兩個相反數(shù)代入求.

(2)由求出,代入得,換元,注意自變量的取值范圍,每設(shè)出一個子母都要把它取的范圍縮到最小以有利于解題, 所以得到得到一個新的函數(shù),利用二次函數(shù)函數(shù)單調(diào)性求最值方法得到,二次函數(shù)在區(qū)間上的最值在端點處或頂點處,遇到對稱軸或區(qū)間含有待定的字母,則要按對稱軸在不在區(qū)間內(nèi)以及區(qū)間中點進(jìn)行討論.

(3)由函數(shù)零點判定轉(zhuǎn)化為二次方程根的判定,即在解個數(shù)情況,這個解起來比較麻煩,所以可以用函數(shù)單調(diào)性先來判定零點的個數(shù),即在上為增函數(shù),也就是在這個區(qū)間上是一一映射, 時的每個值方程只有一個解.

試題解析：

(1)為上的奇函數(shù)

即

(2)由(1)知

解得或(舍)

且在上遞增

令則

所以令,且

因為的對稱軸為

Ⅰ當(dāng)時

解得(舍)

Ⅱ當(dāng)時

解得

綜上:

(3)由(2)可得:

令則

即求,零點個數(shù)情況

即求在解個數(shù)情況

由得,

所以在上為增函數(shù)

當(dāng)時有最小值為

所以當(dāng)時方程在上有一根,即函數(shù)有一個零點

當(dāng)時方程在上無根,即函數(shù)無零點

綜上所述:當(dāng)時在上有一個零點

當(dāng)時在上無零點.

考點：函數(shù)奇偶性,復(fù)合函數(shù)求最值,函數(shù)的零點.