Question

【題目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：

①M(fèi)={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；

③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=ex﹣2}．

其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（　　）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④

Answer 1

【答案】D

【解析】由題意可知，若集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，則曲線y=f（x）上過(guò)任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過(guò)另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．

對(duì)于①，假設(shè)集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，則存在兩點(diǎn)，滿足，即，此方程無(wú)解。因此，假設(shè)不成立，即集合不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”。

對(duì)于②，畫出函數(shù)的圖象，可得圖象向左向右無(wú)限伸展，且與x軸相切，在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過(guò)原點(diǎn)作直線OA的垂線OB，則直線OB總會(huì)與的圖象相交，所以集合M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”。

對(duì)于③，在函數(shù)圖象上取點(diǎn)（1,0），則在曲線不存在點(diǎn) ，滿足，故集合M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”。

對(duì)于④，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且向右上和左下無(wú)限伸展，在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過(guò)原點(diǎn)作直線OA的垂線OB，則直線OB總會(huì)與的圖象相交，所以集合M={（x，y）|y=ex﹣2}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”。