Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈R均有f（1+x）=f（3+x）成立，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A、2
• B、4
• C、5
• D、7

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件f（1+x）=f（3+x）得到函數(shù)的周期是2，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（1+x）=f（3+x）得f（x）=f（2+x），即函數(shù)的周期是2，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，即f（0）=f（2）=f（4）=0，
當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1）=f（2-1）=f（1）=-f（1），
∴f（1）=0，則f（1）=f（3）=f（5）=0，
故1，2，3，4，5都是方程f（x）=0的根，共有5個(gè)，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．