已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱,高AA1=2,
求(1)異面直線BD與AB1所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
(2)求點(diǎn)C到平面BDC1的距離及直線B1D與平面CDD1C1所成的角.

【答案】分析:通過建立空間直角坐標(biāo)系,(1)利用異面直線的方向向量所成的夾角即可得出;(2)求出平面BDC1的法向量,利用點(diǎn)C到平面BDC1的距離公式d=即可得出;
(3)求出平面CDD1C1的法向量,利用sinθ==即可得出.
解答:解:(1)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
則A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(1,1,0),D1(0,1,0),A(0,0,2),B(1,0,2),C(1,1,2),D(0,1,2),
=(1,0,-2).
===
∴異面直線BD與AB1所成角=
(2)由(1)可知:,
設(shè)平面BDC1的法向量為,
,即,令z=1,則x=2,y=2.

∴點(diǎn)C到平面BDC1的距離d===
(3)由(1)可知:=(-1,1,2).
∵A1D1⊥平面CDD1C1,∴可取=(0,1,0)作為平面CDD1C1的法向量.
設(shè)直線B1D與平面CDD1C1所成的角為θ.
則sinθ====
點(diǎn)評:熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系、由異面直線的方向向量所成的夾角求異面直線所成的角、點(diǎn)C到平面BDC1的距離公式d=、由sinθ==求線面角是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,
(1)用平面A1BC1截去一角后,求剩余部分的體積;
(2)求A1B和B1C所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長AB=2,側(cè)棱BB1的長為4,E為C1C上的點(diǎn),且CE=1,
(1)求證:A1C⊥平面BDE;
(2)求A1B與平面BDE所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)F為A1D的中點(diǎn).
(1)求證:A1B⊥平面AB1D;
(2)求證:平面A1B1CD⊥平面AFC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,①(
A1A
+
A1D1
+
A1B1
)2=3(
A1B1
)2
;②
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=0
;③向量
AD1
與向量
A1B
的夾角是60°;④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|
AB
AA1
AD
|
.其中正確的命題是
①②
①②
(寫出所有正確命題編號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長AB=2,側(cè)棱BB1的長為4,過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E,交B1C于點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A1B與平面BDE所成的角的正弦值.

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