Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，點D是BC的中點．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）如果點E是B₁C₁的中點，求證：平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

證明：（1）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD
在△A₁BC中，∵點D是BC的中點，O是A₁C的中點
∴A₁B∥OD
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁；
∴A₁B∥平面ADC₁；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC
∴C₁C⊥AD
在△ABC中，AD⊥BC
∵BC∩C₁C=C
∴AD⊥平面BCC₁B₁
連接DE，∵E是B₁C₁的中點
∴四邊形B₁BDE為平行四邊形
∴B₁B∥ED，B₁B=ED
∵B₁B∥A₁A，B₁B=A₁A
∴ED∥A₁A，ED=A₁A
∴四邊形A₁ADE為平行四邊形
∴A₁E∥AD
∴A₁E⊥平面BCC₁B₁
∵A₁E?平面A₁BE
∴平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁．
分析：（1）證明A₁B∥平面ADC₁，利用線面平行的判定，只需證明A₁B∥OD即可
（2）證明平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁，利用面面垂直的判定，證明A₁E⊥平面BCC₁B₁即可．
點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，解題的關(guān)鍵是正確運用線面平行，面面垂直的判定定理，屬于中檔題．