已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)的圖象是拋物線的一部分,且該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0)、(3,0)和(0,3).
(1)求出f(x)的解析式;
(2)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=t,x∈R,t∈R},若A∩B有4個(gè)元素,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式,結(jié)合圖中三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x+3.再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),解出x<0和x=0時(shí)的表達(dá)式,即可得到f(x)的解析式;
(2)由函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義,結(jié)合函數(shù)的圖象即可寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)作出直線y=t并進(jìn)行平移,觀察它與函數(shù)y=f(x)的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并結(jié)合計(jì)算函數(shù)的極值即可得出滿足條件的實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)根據(jù)題意,可得
∵當(dāng)x>0時(shí),拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0)、(3,0),
∴設(shè)函數(shù)解析式為f(x)=a(x-1)(x-3),(a≠0),
由點(diǎn)(0,3)在拋物線上,得
f(0)=a×(-1)×(-3)=3a=3,解之得a=1..
∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x+3;
當(dāng)x<0時(shí),則-x>0,可得f(-x)=(-x)2-4(-x)+3=x2+4x+3,
∵f(x)是奇函數(shù),∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-f(-x)=-x2-4x-3,
結(jié)合當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,可得f(x)=
x2-4x+3,x>0
0,x=0
-x2-4x-3,x<0

(2)由函數(shù)的圖象,可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2]和[2,+∞);函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[-2,0)和(0,2].
(3)由A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=t,x∈R,t∈R},
可得A∩B的元素的個(gè)數(shù),即為直線y=t與函數(shù)y=f(x)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x+3在x=2時(shí)有最小值-1;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2-4x-3在x=-2時(shí)有最大值1
∴根據(jù)函數(shù)y=f(x)的圖象,平移直線y=t可得
①當(dāng)t>1或t<-1時(shí),直線y=t與函數(shù)圖象有2個(gè)公共點(diǎn);
②當(dāng)t=±1時(shí),直線y=t與函數(shù)圖象有3個(gè)公共點(diǎn);
③當(dāng)t=0時(shí),直線y=t與函數(shù)圖象有5個(gè)公共點(diǎn);
④當(dāng)-1<t<1且t≠0時(shí),直線y=t與函數(shù)圖象有4個(gè)公共點(diǎn)
由此可得滿足A∩B有4個(gè)元素的實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-1,0)∪(0,1).
點(diǎn)評(píng):本題給出奇函數(shù)在x>0時(shí)的圖象,求函數(shù)的表達(dá)式并討論函數(shù)的單調(diào)性.著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)解析式的求法等知識(shí),屬于中檔題.
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(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
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的解集.

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