(本小題共13分)

對(duì)于數(shù)列,若滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列為“0-1數(shù)列”.定義變換將“0-1數(shù)列”中原有的每個(gè)1都變成0,1,原有的每個(gè)0都變成1,0. 例如:1,0,1,則設(shè)是“0-1數(shù)列”,令

.

(Ⅰ) 若數(shù)列 求數(shù)列;

(Ⅱ) 若數(shù)列共有10項(xiàng),則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅲ)若為0,1,記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為,.求關(guān)于的表達(dá)式.

(共13分)

解:(Ⅰ)由變換的定義可得            …………………………………2分

                                   …………………………………4分

(Ⅱ) 數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有10對(duì)         …………………………………5分

證明:對(duì)于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”,中每一個(gè)1在中對(duì)應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1,0,0,1,在中每一個(gè)0在中對(duì)應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0,1,1,0,

因此,共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”中的每一個(gè)項(xiàng)在中都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對(duì),

所以中至少有10對(duì)連續(xù)相等的數(shù)對(duì).    …………………………………………………………8分

(Ⅲ) 設(shè)中有個(gè)01數(shù)對(duì),

中的00數(shù)對(duì)只能由中的01數(shù)對(duì)得到,所以,

中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑:①由中的1得到; ②由中00得到,

由變換的定義及可得中0和1的個(gè)數(shù)總相等,且共有個(gè),

所以,

所以,

可得,

所以,

當(dāng)時(shí),

為偶數(shù),

           

             

          

上述各式相加可得,

經(jīng)檢驗(yàn),時(shí),也滿(mǎn)足

為奇數(shù),

           

             

           

上述各式相加可得,

經(jīng)檢驗(yàn),時(shí),也滿(mǎn)足

所以…………………………………………………………………………………..13分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)

   (I)若x=1為的極值點(diǎn),求a的值;

   (II)若的圖象在點(diǎn)(1,)處的切線(xiàn)方程為,

(i)求在區(qū)間[-2,4]上的最大值;

(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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(Ⅰ)求函數(shù)上的單調(diào)遞增區(qū)間;

(Ⅱ)在中,,分別是角,的對(duì)邊,為銳角,若,的面積為,求邊的長(zhǎng).

 

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(Ⅰ)求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率;

(Ⅱ)設(shè)摸球次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

 

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(II)當(dāng)a=2時(shí),在的條件下,求的值.

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