Question

某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層可以�？浚�若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為

4×3

6×5

，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)．
求：
（1）隨機(jī)變量ξ的分布列；
（2）隨機(jī)變量ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．故ξ～B(5，

1

3

)，由此能求出ξ的分布列．
（2）由ξ～B(5，

1

3

)，能求出Eξ和Dξ．

解答：解：（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
故ξ～B(5，

1

3

)，即有P（ξ=k）=C_k(

1

3

)k(

2

3

)5-k，k=0，1，2，3，4，5．（4分）
從而ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

（8分）
（2）∵ξ～B(5，

1

3

)，
∴Eξ=np=5×

1

3

=

5

3

；
Dξ=npq=5×

1

3

×

2

3

=

10

9

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．